Rajout 1ère année Eco (Séries de Fourier d’une fonction 2π périodique)

Rajout 1ère année Eco (Séries de Fourier d’une fonction 2π périodique) page 2

François BOISSON Le 30 juin 1999 Table des matières 1. Espace de Dirichlet, coefficients de Fourier

On a vu que D espace des fonctions continues par morceaux, 2π périodique et vérifiant

f = \frac{f^{+} + f^{−}}{2}

muni de

f | g = ∫_{0}^{2π} f̄.g

est un espace préhilbertien. Ce n’est pas un espace de Hilbert dans la mesure où il n’est pas complet. Cependant, il offre un cadre pratique. Dans cet espace, la famille {t → e^{int}, n ∈ Z} est orthonormale, la famille {t → 1; t → cos (nt) ; t → sin (nt) , n ⩾ 1} est orthogonale mais non orthonormée, on a pour n ⩾ 1, ∥cos (nt)∥ = ∥sin (nt)∥ = \frac{1}{2} Définition : Soit f ∈ D, on définit les coefficients de Fourier de f par

c_{n} (f) = e^{inx} | f = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} f (t) .e^{−int} dt

a_{n} (f) = 2. (cos nx | f) = \frac{1}{π} ∫_{−π}^{π} f (t) . cos nt dt

b_{n} (f) = 2. (sin nx | f) = \frac{1}{π} ∫_{−π}^{π} f (t) . sin nt dt

On a immédiatement

c_{n} (f) = \frac{a_{n} (f) − i.b_{n} (f)}{2} , c_{−n} (f) = \frac{a_{n} (f) + i.b_{n} (f)}{2}

a_{n} (f) = c_{n} (f) + c_{−n} (f)

et

b_{n} (f) = i (c_{n} (f) − c_{−n} (f))

Appelons P_{n} l’ensemble des polynômes trigonométriques de degré inférieur à n et P l’ensemble des polynômes trigonométriques, on a

P = ∪_{n∈N}P_{n} = ⟨e^{inx}, n ∈ Z⟩ = ⟨cos nx, n ∈ N ; sin nx, n ⩾ 1⟩

la projection de f sur P_{n} est

S_{n} (f) = ∑_{k=−n}^{n} c_{k} (f) .e^{ikx} = \frac{a_{0} (f)}{2} + ∑_{k=1}^{n} a_{k} (f) . cos kx + b_{k} (f) . sin kx

de norme

∥S_{n} (f)∥ = \sqrt{∑_{k=−n}^{n} |c_{k} (f)|^{2}} = \sqrt{\frac{|a_{0}|^{2}}{2} + (∑_{k=1}^{n} |a_{k} (f)|^{2} + ∑_{k=1}^{n} |b_{k} (f)|^{2})}

2. Propriétés des coefficients de Fourier, inégalité de Bessel. On peut déjà remarquer que les fonctions f → a_{n} (f) , b_{n} (f) et c_{n} (f) sont linéaires.

Proposition : (Bessel) Les séries ∑_{k=−∞}^{∞} |c_{k} (f)|^{2} , ∑_{n=0}^{+∞} |a_{n} (f)|^{2} et ∑_{n=0}^{+∞} |b_{n} (f)|^{2} convergent, on a

∑_{k=−∞}^{+∞} |c_{k} (f)|^{2} ⩽ \frac{1}{2π} . ∫_{−π}^{π} |f|^{2}

et

\frac{|a_{0}|^{2}}{2} + (∑_{n=1}^{+∞} |a_{n} (f)|^{2} + ∑_{n=1}^{+∞} |b_{n} (f)|^{2}) ⩽ \frac{1}{2π} . ∫_{−π}^{π} |f|^{2}

On peut en déduire des propriétés simples : Proposition : Les coefficients de Fourier d’une fonction convergent vers 0 quand n tend vers +∞ (ou −∞ dans le cas de c_{n} (f)).

Par ailleurs, l’expression même des coefficients de Fourier permettent d’écrire Proposition : Si f ∈ D, on a

|c_{n} (f)| ⩽ ∥f∥_{∞} , |a_{n} (f)| ⩽ ∥f∥_{∞} , |b_{n} (f)| ⩽ ∥f∥_{∞}

Cela nous donne en fait la continuité des applications f → a_{n} (f) , b_{n} (f) et c_{n} (f) pour la norme infinie. Une propriété importante est le lien entre c_{n} (f) et c_{n} (f′), si f est continue et de classe C_{1} par morceaux, en posant

f′ (x) = \frac{f^{′+} (x) + f^{′−} (x)}{2}

lorsque f non dérivable en x, une intégration par parties, possible puisque f continue, donne

c_{n} (f′) = in.c_{n} (f)

soit encore

∀n ⩾ 0, S_{n} (f′) = S_{n} (f)′

On a de même Proposition : Si f ∈ D de classe C_{k−1} et C_{k} par morceaux, on a pour tout l compris entre 0 et k

c_{n} (f^{(l)}) = (in)^{l} .c_{n} (f)

soit

S_{n} (f^{(l)}) = S_{n} (f)^{(l)}

On en déduit comme c_{n} (f^{(k)}) = o (1) quand n → ±∞ que c_{n} (f) = o (\frac{1}{n^{k}} ) . Entre autres, si k ⩾ 2, la série

S_{n} (f) (x) = ∑_{k=−n}^{n} c_{k} (f) .e^{ikx} = \frac{a_{0} (f)}{2} + ∑_{k=1}^{n} a_{k} (f) . cos kx + b_{k} (f) . sin kx

est normalement convergente sur R, les coefficients étant des o (\frac{1}{n^{2}} ) . Cela s’étend au cas k = 1 en remarquant que

∑_{n=1}^{q} |c_{n} (f)| ⩽ \sqrt{(∑_{n=1}^{q} \frac{1}{n^{2}} ) . (∑_{n=1}^{q} |n.c_{n} (f)|^{2})} ⩽ \sqrt{(∑_{n=1}^{+∞} \frac{1}{n^{2}} ) . (∑_{n=1}^{+∞} |c_{n} (f′)|^{2})}

et la série ∑_{n=1}^{+∞} |c_{n} (f)| est convergente. Il en est de même de ∑_{n=−1}^{−∞} |c_{n} (f)|, la série ∑_{n=−∞}^{+∞} |c_{n} (f)| est convergente et S_{n} (f) est normalement convergente. Il reste à montrer que dans ces cas elle converge vers f.

3. Théorèmes de convergence.

Tout ce qui précède est général et pourrait s’appliquer à n’importe quelle famille orthonormée de D. Il nous reste à montrer que dans le cadre choisi, la série de Fourier d’une fonction caractérise cette dernière. Pour cela, il faut prouver que connaissant les coefficients de Fourier d’une fonction, on connait cette fonction.

(a) Théorème de Parseval. Il n’est pas nécessaire pour cela que la série de Fourier converge simplement ou uniformément en tant que suite de fonctions. Nous avons vu qu chapitre précédent que dans l’espace préhilbertien D, la suite (S_{n} (f)) était une suite de Cauchy (conséquence de l’inégalité de Bessel). D à priori n’est pas complet (de Hilbert) donc on ne peut savoir si la suite converge. Le théorème de Parseval permet d’affirmer que cette suite converge vers f. Pour prouver cela, il suffit de montrer que d (f, P_{n}) tend vers 0. On va donc construire pour f ∈ D un polynôme trigonométrique Q_{n} de degré n tel que ∥f − Q_{n}∥ converge vers 0. L’inégalité

∥f − Q_{n}∥ ⩾ d (f, P_{n}) = ∥f − S_{n} (f)∥

permettra de conclure. Ce résultat repose sur le produit de convolution, particulièrement utile pour les approximations de fonctions : Lemme : Soit f ∈ D, on pose

Q_{n} (x) = \frac{1}{I_{n}} ∫_{−π}^{π} f (t) . (\frac{1 + cos (x − t)}{2})^{n} dt

avec

I_{n} = ∫_{−π}^{π} (\frac{1 + cos t}{2})^{n} dt

alors ∥Q_{n} − f∥ converge vers 0 i.e (Q_{n}) converge vers f dans D

Preuve . Remarquons que

Q_{n} (x) = \frac{1}{I_{n}} ∫_{−π}^{π} f (t) . (\frac{1 + cos x. cos t − sin x. sin t}{2})^{n} dt ∈ P_{n}

et que puisque \frac{1+cos t}{2} ⩾ 0 non identiquement nulle sur [0, 2π], I_{n} > 0. Le changement de variable u = x − t donne en remarquant que l’intégrale se fait sur un intervalle de longueur une période :

Q_{n} (x) = \frac{1}{I_{n}} ∫_{−π}^{π} f (x − u) . (\frac{1 + cos u}{2})^{n} du

On peut noter que si M majore |f| sur R, on a

|Q_{n} (x)| ⩽ \frac{I_{n}}{I_{n}} .M soit M

Comme

f (x) = \frac{I_{n}}{I_{n}} .f (x) = \frac{1}{I_{n}} ∫_{−π}^{π} f (x) . (\frac{1 + cos u}{2})^{n} du

on a

Q_{n} (x) − f (x) = \frac{1}{I_{n}} ∫_{−π}^{π} (f (x − u) − f (x)) . (\frac{1 + cos u}{2})^{n} du

Or par symétrie

\frac{I_{n}}{2} = ∫_{−π}^{0} (\frac{1 + cos t}{2})^{n} dt = ∫_{0}^{π} (\frac{1 + cos t}{2})^{n} dt

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donc

f (x) = \frac{f^{+} (x) + f^{−} (x)}{2} = \frac{1}{I_{n}} . (∫_{−π}^{0} (\frac{1 + cos t}{2})^{n} .f^{+} (x) dt + ∫_{0}^{π} (\frac{1 + cos t}{2})^{n} .f^{−} (x) dt)

et

Q_{n} (x)−f (x) = \frac{1}{I_{n}} . (∫_{−π}^{0} (\frac{1 + cos t}{2})^{n} . (f (x − t) − f^{+} (x)) dt + ∫_{0}^{π} (\frac{1 + cos t}{2})^{n} . (f (x − t) − f^{−} (x)) dt)

Soit ε > 0, il existe α > 0 tel que

∀t ∈ ]0, α[ , |f (x − t) − f^{−} (x)| < ε et |f (x + t) − f^{+} (x)| < ε

On obtient si M majore |f| sur R

|∫_{−π}^{0} (\frac{1 + cos t}{2})^{n} . (f (x − t) − f^{+} (x)) dt| ⩽ ε.\frac{∫_{−α}^{0} (\frac{1+cos t}{2})^{n} dt}{I_{n}}+2M.\frac{∫_{−π}^{−α} (\frac{1+cos t}{2})^{n} dt}{I_{n}}

soit

|∫_{−π}^{0} (\frac{1 + cos t}{2})^{n} . (f (x − t) − f^{+} (x)) dt| ⩽ \frac{ε}{2} + 2M.\frac{(\frac{1+cos α}{2})n}{I_{n}}

de même

|∫_{0}^{π} (\frac{1 + cos t}{2})^{n} . (f (x − t) − f^{−} (x)) dt| ⩽ \frac{ε}{2} + 2M.\frac{(\frac{1+cos α}{2})n}{I_{n}}

Finalement

|Q_{n} (x) − f (x)| ⩽ ε + 4M.\frac{(\frac{1+cos α}{2})n}{I_{n}}

Or on a

I_{n} = ∫_{−π}^{π} (\frac{1 + cos t}{2})^{n} dt = ∫_{−π}^{π} cos^{2n} \frac{u}{2} du

soit

I_{n} ⩾ ∫_{−π/2}^{π/2} 2. cos^{2n} u du = 4. ∫0^{\frac{π}{2}} cos^{2n} u du

finalement

I_{n} ⩾ 4. ∫0^{\frac{π}{2}} cos^{2n} u. sin u du soit \frac{4}{2n + 1}

Donc

4M.\frac{(\frac{1+cos α}{2})n}{I_{n}} ⩽ (2n + 1) .M. (\frac{1 + cos α}{2})^{n}

de limite nulle. Il existe donc n_{0} ∈ N tel que

∀x ∈ R,∀n ⩾ n_{0}, |Q_{n} (x) − f (x)| ⩽ 2.ε

Finalement

lim_{n→+∞} Q_{n} (x) = f (x)

Comme |Q_{n} (x) − f (x)|^{2} ⩽ 4M^{2}, le theorème de convergence dominée permet d’écrire

lim_{n→+∞} ∫_{−π}^{π} |Q_{n} (x) − f (x)|^{2} dx = 0

et donc (Q_{n}) convergente vers f dans D. □ On peut maintenant énoncer

Théorème : (S_{n} (f)) converge vers f dans D, on a donc

lim_{n→+∞} ∥S_{n} (f) − f∥ = 0

soit

∑_{k=−∞}^{+∞} |c_{k} (f)|^{2} = \frac{|a_{0}|^{2}}{2} + (∑_{n=1}^{+∞} |a_{n} (f)|^{2} + ∑_{n=1}^{+∞} |b_{n} (f)|^{2}) = \frac{1}{2π} . ∫_{−π}^{π} |f|^{2}

(égalité de Parseval)

Preuve . Comme on l’a vu plus haut

∥f − Q_{n}∥ ⩾ d (f, P_{n}) = ∥f − S_{n} (f)∥

et donc lim_{n→+∞} ∥f − S_{n} (f)∥ = 0. Le reste en découle. □ Ce théorème est important car il permet d’affirmer la correspondance biunivoque entre les fonctions de D et leur série de Fourier. Il est à la source d’égalités importantes :

Exemple 1. Pour f (x) = \frac{π−x}{2} sur ]−π, π[ 2π périodique, on obtient

a_{n} = 0, b_{n} = \frac{1}{n}

d’où

∑_{n=1}^{+∞} \frac{1}{n^{2}} = \frac{π^{2}}{6}

En appliquant l’égalité de Parseval à f (x) = e^{ax} sur ]−π, π[ 2π périodique, on obtient

c_{n} = \frac{sinh (aπ)}{π}.\frac{(−1)^{n}}{a − in}

et

∑_{n=1}^{+∞} \frac{1}{n^{2} + a^{2}} = \frac{πa sinh (2aπ) − 2 sinh^{2} (aπ)}{4a^{2} sinh^{2} (aπ)}

La fonction f (x) = e^{iax} sur ]−π, π[ permet de calculer ∑_{n=−∞}^{+∞} \frac{1}{(n−a)^{2}}

(b) Convergence uniforme de la série de Fourier

Une conséquence importante du théorème de Parseval est le théorème suivant :

Théorème : Si f ∈ D est telle que sa série de fourier (S_{n} (f)) converge uniformément sur R vers une fonction g alors f = g.

Preuve . En effet, le théorème de Parseval permet d’affirmer que si ∀n ∈ Z,c_{n} (f) = c_{n} (g) alors f = g. Or, on a d’une part

∀n ⩾ |p| , c_{p} (S_{n} (f)) = S_{n} (f) |e^{ipx} = c_{p} (f)

(puisque S_{n} (f) est le projeté de f sur P_{n}), d’autre part

|c_{p} (S_{n} (f)) − c_{p} (g)| ⩽ ∥S_{n} (f) − g∥_{∞} → 0

On en déduit lim_{n→+∞} c_{p} (S_{n} (f)) = c_{p} (g) puis c_{p} (g) = c_{p} (f) et f = g. □

En gros, cela permet le ”c’est d’autant plus vrai que ça marche” : Ainsi, pour la fonction f (x) = \sqrt{|x|} sur [−π, π] 2π périodique, les coefficents de Fourier sont

a_{0} = \frac{\sqrt{π}}{3}

et

a_{n} = \frac{2}{π} ∫_{0}^{π} \sqrt{t}. cos (nt) dt

soit

a_{n} = \frac{2}{π} ∫_{0}^{nπ} \frac{\sqrt{u}. cos (u)}{n^{\frac{3}{2}}} du

or

∫_{0}^{nπ} \sqrt{u}. cos (u) du = [\sqrt{u}. sin u]_{0}^{nπ} − ∫_{0}^{nπ} \frac{sin u}{2\sqrt{u}} du = − ∫_{0}^{nπ} \frac{sin u}{2\sqrt{u}} du

convergeant vers − ∫_{0}^{+∞} \frac{sin u}{2\sqrt{u}} du (soit −\frac{\sqrt{2π}}{4} ). On a donc a_{n} = O (\frac{1}{n^{3/2}} ) et la série de

Fourier converge normalement donc uniformément sur [−π, π] et sur R (par 2π périodicité) et elle converge vers f, entre autres

∀x ∈ [0, π] , \sqrt{x} = \frac{\sqrt{π}}{3} + ∑_{n=1}^{+∞} (\frac{2}{π} ∫_{0}^{nπ} \frac{\sqrt{u}. cos (u)}{n^{\frac{3}{2}}} du) . cos nx

ou encore

∀x ∈ [0, π] , \sqrt{x} = \frac{\sqrt{π}}{3} − ∑_{n=1}^{+∞} (∫_{0}^{nπ} \frac{sin u}{π\sqrt{u}} du) . cos nx

Un cas particulier est celui où f est continue et C_{1} par morceaux, on a vu dans ce cas que la série S_{n} (f) est normalement convergente. Ce qui précède permet de montrer que elle converge normalement vers f. Cela se résume en le théorème suivant utilisé dans la plupart des cas :

Théorème : Si f est continue, C_{1} par morceaux et 2π périodique, la série de Fourier de f converge uniformément vers f.

Cela peut être affiné au cas f lipschitzienne. En effet, supposons que f vérifie

∃k ⩾ 0, ∀x, y ∈ R, |f (x) − f (y)| ⩽ k. |x − y|

posons pour h > 0, g (x) = \frac{f(x+h)−f(x−h)}{2h}, g ∈ D et

c_{n} (g) = \frac{1}{2π} . ∫_{−π}^{π} \frac{f (x + h) − f (x − h)}{2h}.e^{−inx} dx

soit

c_{n} (g) = \frac{1}{4hπ} (∫_{−π}^{π} f (x + h) .e^{−inx} dx − ∫_{−π}^{π} f (x − h) .e^{−inx} dx)

et

c_{n} (g) = \frac{1}{4hπ} (e^{inh} ∫_{−π+h}^{π+h} f (x) .e^{−inx} dx − e^{−inh} ∫_{−π−h}^{π−h} f (x) .e^{−inx} dx)

Finalement

c_{n} (g) = c_{n} (f) .\frac{i sin nh}{h}

Or la série ∑ |c_{n} (g)|^{2} est convergente vers \frac{1}{2π} ∫ |g|^{2} . De |g| ⩽ k, on déduit que

∀h > 0, ∀p, q ⩾ 0, ∑_{n=−p}^{q} |c_{n} (g)|^{2} ⩽ \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} |g|^{2} ⩽ k^{2}

soit

∀h > 0, ∀p, q ⩾ 0, ∑_{n=−p}^{q} |c_{n} (f) .\frac{i sin nh}{h}|^{2} ⩽ k^{2}

En faisant tendre h vers 0 (à p, q fixés, k étant indépendant de h), on a

∀p, q ⩾ 0, ∑_{n=−p}^{q} n^{2}. |c_{n} (f)|^{2} ⩽ k^{2}

et la série ∑_{n=−∞}^{+∞} n^{2}. |c_{n} (f)|^{2} est convergente. Là encore de

∑_{n=1}^{q} |c_{n} (f)| ⩽ \sqrt{(∑_{n=1}^{q} \frac{1}{n^{2}} ) . (∑_{n=1}^{q} |n.c_{n} (f)|^{2})}

on déduit ∑_{n=1}^{+∞} |c_{n} (f)| convergente ainsi que ∑_{n=−1}^{−∞} |c_{n} (f)|, la série ∑_{n=−∞}^{+∞} |c_{n} (f)| est convergente et S_{n} (f) est normalement convergente vers f. On peut donc énoncer

Théorème : Si f est continue lipschitzienne, la série de Fourier de f converge uniformément vers f.

(c) Convergence simple, théorème de Dirichlet Il s’agit maintenant de dégager des conditions de convergence plus générale permettant d’obtenir non pas la convergence uniforme (irréalisable dès que f discontinue) mais la convergence simple. C’est le theorème de Dirichlet qui s’énonce comme suit :

Théorème : Si f est C_{1} par morceaux (non forcément continue et 2π périodique, alors

lim_{n→+∞} S_{n} (f) (x) = f (x)

autrement dit, le développement de Fourier de f converge simplement vers f.

Avant de passer à la démonstration, on peut noter que le théorème ne dit pas ”la série de Fourier converge vers f” mais ”le développement de Fourier converge vers f”. La raison est simple, prenons l’exemple de f (x) = x sur ]−π, π[ 2π périodique, on a successivement

c_{0} (f) = 0

et

c_{n} (f) = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} t.e^{−int} dt = \frac{1}{2π} [\frac{t.e^{−int}}{−in} ]_{−π}^{π} = \frac{i. (−1)^{n}}{n}

La série

∑_{\begin{matrix}n=−∞ \\ n≠0 \end{matrix}}^{+∞} \frac{i. (−1)^{n}}{n} .e^{inx}

ne converge pas en x = π (c’est la série ∑+∞ ; \begin{matrix}n=−∞ \\ n≠0 \end{matrix} \frac{i}{n} clairement divergente), par contre, la

suite

S_{N} (x) = ∑_{\begin{matrix}n=−N \\ n≠0 \end{matrix}}^{N} \frac{i. (−1)^{n}}{n} .e^{inx}

valant 0 pour x = π converge en ce point. La nuance disparait si on considère les coefficients (a_{n}) et (b_{n}) et si on considère S_{n} (f) comme la série

S_{n} (f) (x) = \frac{a_{0} (f)}{2} + ∑_{k=1}^{n} a_{k} (f) . cos kx + b_{k} (f) . sin kx

Preuve . La preuve est un peu similaire au théorème de Parseval : On fait apparaître S_{n} (f) comme un produit de convolution avec un polynôme trigonométrique et on montre la convergence simple en notant que l’galité existe pour les fonctions constantes. Etape 1 : Calcul de ∑_{k=−n}^{n} e^{ikx} On a

∑_{k=−n}^{n} e^{ikx} = \frac{e^{−inx} − e^{i(n+1)x}}{1 − e^{ix}} = \frac{sin (n + \frac{1}{2}) x}{sin \frac{x}{2}} = Q_{n} (x)

Etape 2 : Calcul de S_{n} (f) (x) On a

S_{n} (f) (x) = ∑_{k=−n}^{n} \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} f (t) .e^{ik(x−t)} dt

soit

S_{n} (f) (x) = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} f (t) . ∑_{k=−n}^{n} e^{ik(x−t)} dt

et donc

S_{n} (f) (x) = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} f (t) .Q_{n} (x − t) dt = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} f (x − u) .Q_{n} (u) du

par changement de variable u = x − t en notant que les fonctions sont 2π périodiques et que l’intégrale se fait sur une période. Etape 3 : Etude de Q_{n}. On peut noter que S_{n} (1) = 1 donc

\frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} Q_{n} (u) du = 1

Q_{n} étant paire, on a

\frac{1}{2π} ∫_{−π}^{0} Q_{n} (u) du = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{π} Q_{n} (u) du = \frac{1}{2}

Etape 4 (L’argument principal) : Si g est une fonction continue par morceaux sur [−π, π] , nulle en zéro, et admettant des dérivées à gauche et à droite, on a

lim_{x→0^{+}} \frac{g (x)}{sin \frac{x}{2}} . cos \frac{x}{2} = 2.g′_{d} (0) et lim_{x→0^{−}} \frac{g (x)}{sin \frac{x}{2}} . cos \frac{x}{2} = g′_{g} (0)

La fonction \frac{g(x)}{sin \frac{x}{2}} est donc continue par morceaux sur [−π, π] . On peut écrire

g (x) .Q_{n} (x) = \frac{g (x)}{sin \frac{x}{2}} . cos \frac{x}{2}. sin nx + g (x) . cos nx

et donc si on appelle

h (x) = \frac{g (x)}{sin \frac{x}{2}} . cos \frac{x}{2}

on a

\frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} g (t) .Q_{n} (t) dt = \frac{1}{2} (b_{n} (h) + a_{n} (g))

(coefficients de Fourier) de limite nulle quand n → +∞. Etape 6 : De

\frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} Q_{n} (u) du = 1

on déduit

f (x) = \frac{f^{+} (x) + f^{−} (x)}{2} = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{0} f^{+} (x) .Q_{n} (u) du + \frac{1}{2π} ∫_{0}^{π} f^{−} (x.) Q_{n} (u) du

Donc

f (x)−S_{n} (f) (x) = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{0} (f^{+} (x) − f (x − u)) .Q_{n} (u) du+\frac{1}{2π} ∫_{0}^{π} (f^{−} (x.) − f (x − u)) .Q_{n} (u) du

soit

f (x) − S_{n} (f) (x) = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} g (u) .Q_{n} (u) du

avec

g (u) = \{ \begin{matrix}f^{+} (x) − f (x − u) si u ∈ ]−π, 0[ \\ f^{−} (x.) − f (x − u) si u ∈ ]0, π[ \end{matrix}

f étant de classe C_{1} par morceaux, g est continue par morceaux et admet des dérivées à gauche et à droite en 0. On a donc d’après ce qui précède

lim_{n→+∞} \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} g (u) .Q_{n} (u) du = 0

et donc

lim_{n→+∞} f (x) − S_{n} (f) (x) = 0

(S_{n} (f)) converge donc simplement vers f sur R. □ On peut diminuer l’hypothèse C_{1} par morceaux mais c’est cette version qui sert dans la pratique.

1. Espace de Dirichlet, coefficients de Fourier

2. Propriétés des coefficients de Fourier, inégalité de Bessel.

3. Théorèmes de convergence.

(a) Théorème de Parseval.

(b) Convergence uniforme de la série de Fourier

(c) Convergence simple, théorème de Dirichlet